刑事拘留满37天后，案件会进入下一个处理阶段。根据对被拘留犯罪嫌疑人的审查结果，公安机关会作出以下决定：
1.如果证据充分，犯罪嫌疑人需要被追究刑事责任，公安机关会依法办理提请批准逮捕手续，将案件移送至人民检察院审查起诉。
2.如果犯罪嫌疑人虽然涉嫌犯罪，但不需要逮捕，公安机关会依法办理取保候审或者监视居住手续，并将案件直接移送至人民检察院起诉。
3.如果拘留期限内未能查清犯罪事实，公安机关同样会办理取保候审或者监视居住手续，但案件会继续侦查，待查清事实后再作进一步处理。
4.如果经过审查，发现没有犯罪事实或者不应追究刑事责任，公安机关会撤销案件，释放被拘留人，并发给释放证明。
整个处理过程，都严格遵循《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，确保案件处理的合法性和公正性。