人民法院可能会支持一方要求变更子女抚养权的请求：
与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的。这种情况下，由于抚养方无法继续承担抚养责任，变更抚养权有利于子女的健康成长。
与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的。
八周岁以上未成年子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力的。当子女达到一定年龄，具有表达自己意愿的能力时，他们的意愿应被尊重。
根据《民法典》的相关规定，父母均有抚养子女的权利和义务，而变更抚养权属于重大人身关系变更，需要得到法律的认可和保障。
通过公证机构对《变更抚养权协议》进行公证，可以强化该协议的法律效力，使其在面对争议时更具说服力。
从实际操作层面来看，公证机构作为专业的法律服务提供者，能够对《变更抚养权协议》的内容进行审查，确保其符合法律法规的要求，从而避免潜在的法律风险。